倍数って実はすごく難しい?

2014-03-15
昨日の授業で倍数の話がでてきました。

[問題]5の倍数を小さいものから3つあげなさい。

そんなの簡単!5,10,15と思った人、実はそんなに単純ではありません。

それは、倍数の定義は「ある整数aを整数倍した数を、aの倍数という。」からです。

「え!だから5を1倍、2倍、3倍して5、10,15が答えなんじゃないの?」

さあここで、整数とは何でしょうか?小学校の算数では0、1、2、3、・・・を整数といいます。では一番小さい整数は0なので、5を0倍した0が5の倍数と考えられませんか。

小学生A君「でも0は倍数に入らないと学校で習ったよ」

中学生B君「あれ、整数には負の整数も入ると習ったので、例えば5をマイナス2倍した-10も5の倍数になるのでは?」

高校生C君「当然負の倍数もあるので、5の倍数を小さいものから3つと言われても困る」

どうですか、話は単純ではないでしょう。

実はA君もB君もC君も全て正解なのです。

つまり、倍数をどう定義するかで変わってくるのです。

小学校では通常倍数には0を含めないと定義することが多いようです。これはマイナスの数を習わないのでそうしているのではないかと思います。

高校では通常倍数には負の整数も入ると定義します。“虚数”なんて数まで定義される高校数学ですからこの定義も妥当ではないかと思います。

問題は中学校。

ここが一番微妙。なぜならマイナスがない世界からマイナスの世界に移行する狭間の世界だからです。

結局のところ、定義次第でどうにでも変わってしまうわけです。

なぜ今回このような話をしたかというと、Z会では、正負の数に入る前に倍数を一度学び(これが昨日の授業)、テキストでは、

「ある整数を0倍、1倍、2倍、・・・と整数倍してできる数をある整数の倍数という」

と定義しています。ところが、今から3年前の新中1生でそのことをしっかり覚えていた生徒が、

「先生、学校のテストで倍数に0を書いたら×になった!」

ということがあったのです。

はっきり言って、それは何も考えずにそういう問題を出題した先生が悪いのですが・・・。

入試でも、疑義が生じそうな場合は、「ただし、正の整数とする」などその問題中で定義をします。(ちなみにその中学校のテストには何も書いていなかったそうです)

ただ、私はそのことがあって以来、

「倍数は0倍もあるので0も入ると考えるのが普通だけど、もし中学校の授業で先生が倍数について話をしたら、0が入るかどうか質問した方がいいよ。入らないと言われたら、それに合わせて学校のテストは答える必要があるからね」

と言うことにしています。

数学って、倍数1つをとっても奥が深いですね。

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生徒の疑問(3)解答

2014-03-12
まずはもう一度、早稲田大学本庄高等学院の入試問題を確認します。

(問題)2数A、Bに対して、「A÷B が X である」ことを「A=B×X となる数 X が、ただ1つ存在する」と定義する。このとき、次の問いについて計算できるものはその結果を書き、計算できないものはその理由を簡潔に書け。

問1.3÷0
問2.0÷3
問3.0÷0

さて答えですが、

問1.計算できない。理由:3÷0=X とすると、3=0×X となる数 X がただ1つ存在することになるが、そのような X は存在しないので計算できない。

問2.0

問3.計算できない。理由:0÷0=X とすると、0=0×X となる X がただ1つ存在することになるが、X がどんな数でも0=0×X は成り立つので、X はただ1つに決まらないため計算できない。

答えは合っていましたか?

この問題は、問題文にヒントがあったので比較的簡単でしたが、もしいきなり、

「3÷0が計算できないことを説明しなさい」

といわれたらかなり戸惑いますよね。

このように、普段何気なく疑問に思うことが入試に出題されることもあります。

生徒のみなさん、「どうして?と思ったら必ず学校の先生や塾の先生に質問しましょう!疑問をそのままにしておくと、それがきっかけで数学が嫌いになることもありますからね。→ 以前の記事

質問される側は答えられるかドキドキものですが(笑)

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生徒の疑問(3)

2014-03-11
小学校で、「0で割ってはいけない!

と教わりましたね。中学校でも等式の性質のところで、

「等式の両辺を、同じ0でない数で割っても等式は成り立つ」

ということを学びます。

これを4~5年前の中1の夏期講習で確認したとき、

先生、0で割ったら0になるから、0で割っても等式は成り立つのではないですか

という疑問をぶつけられたことがあります。

0で割ってはいけないという理由には様々な説明方法がありますが、私がそのときとっさに思いついたのはある入試問題でした。

(問題)2数A、Bに対して、「A÷B が X である」ことを「A=B×X となる数 X が、ただ1つ存在する」と定義する。このとき、次の問いについて計算できるものはその結果を書き、計算できないものはその理由を簡潔に書け。

問1.3÷0
問2.0÷3
問3.0÷0

実はこの問題、なんと早稲田大学本庄高等学院の入試問題です!

このように、生徒が感じる何気ない疑問が入試問題として出題されることもあるのです。

今ここでこの答えを書くのは簡単ですが、それでは思考力が養われないため、この答えは次回書きたいと思います。

生徒のみなさん、いざ、チャレンジ!

本日3月11日、忘れられない日です。このブログを読んでくれている中学生のみんなの中には勉強なんてしたくない、塾なんて行きたくないという人もいるよね。でも今日だけでもいい。志半ばで亡くなられたみんなと同年代の多くの方、今なお避難生活を余儀なくされ、勉強したくてもできない、塾に行きたくても行けない人達の苦しみやくやしさ、そういう様々な思いを感じ、今、自分達が勉強できるという環境がどれほど幸せなことか考えてみて下さい。その思いは君という人間を必ず一回り大きく成長させるはずです。

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生徒の疑問(2)

2014-03-09
前回、生徒の疑問についてかきましたが、私が講師になってすぐの頃、こんな質問を受けました。

「先生、比例の問題で比例定数という言葉がありますが、なぜ反比例では反比例定数と言わないのですか?」

私自身、そういうものだとしか考えていなかったため、恥ずかしながらこのときは「誰かがそう決めたのだから仕方ない」という返答をしました。

ところが、きちんとした理由があったのです。「yはxに反比例する」といわれたら、通常、「y=a/x 」とおきますね。実はこれは「yは1/xに比例する」ということと同じなのです。ですから反比例でもやはりaのことを“比例定数”というわけです。

入試では、難関私立を中心に、様々な比例の表現が出題されています。塾技100でも取扱いましたが、ここにまとめます。

様々な比例の表現

上の⑤の表現例を見ると、前述したことがわかると思います。

生徒の疑問は我々講師の力も育ててくれるとても貴重なものです。(あのとき質問してくれた生徒は今はもう立派な社会人になっていると思いますが、答えられなくてごめんなさい。。。)

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生徒の疑問

2014-03-08
授業をしていると、生徒から「思わぬ疑問」が投げかけられることがあります。

昨日、授業をしているとある生徒が、

「何で1より小さい数で割るのか意味がわからん?」

ということを言いました。

実際は文字式の割り算でしたが、ここでは話を簡単にするために、8÷0.2ということにしましょう。

要は、8÷2はわかるが、8を0.2で割るという意味がわからないということでした。

教えている側からすると、特に何も疑問を持ちませんが、生徒の目というのは新鮮ですね。

割り算には、①分ける(等分除)②いくつ含まれているかを考える(包含除)③1あたりの量を求める(単位量)など様々な意味があります。

先ほどの例を②の意味で説明すると、8の中に2は4つ含まれているので、8÷2=4であり、同様に、8の中に0.2は40個含まれるので、8÷0.2=40となるわけです。

もし割り算の意味を①の分けるという意味でしかとらえていないと、確かに「8を0.2で分けるというのはよくわからん!」となってしまいますね。

実は、算数や数学が嫌いになる子ほど、本当はとても鋭い感性(視点)の持ち主であることが多いのです。

我々教える側があまりに当たり前すぎて疑問を持たなくなったことにこそ、生徒の成績を伸ばす秘訣があるのかもしれません。

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