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倍数って実はすごく難しい?

2014-03-15
昨日の授業で倍数の話がでてきました。

[問題]5の倍数を小さいものから3つあげなさい。

そんなの簡単!5,10,15と思った人、実はそんなに単純ではありません。

それは、倍数の定義は「ある整数aを整数倍した数を、aの倍数という。」からです。

「え!だから5を1倍、2倍、3倍して5、10,15が答えなんじゃないの?」

さあここで、整数とは何でしょうか?小学校の算数では0、1、2、3、・・・を整数といいます。では一番小さい整数は0なので、5を0倍した0が5の倍数と考えられませんか。

小学生A君「でも0は倍数に入らないと学校で習ったよ」

中学生B君「あれ、整数には負の整数も入ると習ったので、例えば5をマイナス2倍した-10も5の倍数になるのでは?」

高校生C君「当然負の倍数もあるので、5の倍数を小さいものから3つと言われても困る」

どうですか、話は単純ではないでしょう。

実はA君もB君もC君も全て正解なのです。

つまり、倍数をどう定義するかで変わってくるのです。

小学校では通常倍数には0を含めないと定義することが多いようです。これはマイナスの数を習わないのでそうしているのではないかと思います。

高校では通常倍数には負の整数も入ると定義します。“虚数”なんて数まで定義される高校数学ですからこの定義も妥当ではないかと思います。

問題は中学校。

ここが一番微妙。なぜならマイナスがない世界からマイナスの世界に移行する狭間の世界だからです。

結局のところ、定義次第でどうにでも変わってしまうわけです。

なぜ今回このような話をしたかというと、Z会では、正負の数に入る前に倍数を一度学び(これが昨日の授業)、テキストでは、

「ある整数を0倍、1倍、2倍、・・・と整数倍してできる数をある整数の倍数という」

と定義しています。ところが、今から3年前の新中1生でそのことをしっかり覚えていた生徒が、

「先生、学校のテストで倍数に0を書いたら×になった!」

ということがあったのです。

はっきり言って、それは何も考えずにそういう問題を出題した先生が悪いのですが・・・。

入試でも、疑義が生じそうな場合は、「ただし、正の整数とする」などその問題中で定義をします。(ちなみにその中学校のテストには何も書いていなかったそうです)

ただ、私はそのことがあって以来、

「倍数は0倍もあるので0も入ると考えるのが普通だけど、もし中学校の授業で先生が倍数について話をしたら、0が入るかどうか質問した方がいいよ。入らないと言われたら、それに合わせて学校のテストは答える必要があるからね」

と言うことにしています。

数学って、倍数1つをとっても奥が深いですね。

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